おじさんの自由研究 - starwish’s diary

平均値を図形で理解しよう

おじさんの趣味は日曜工作である。先日来自宅の居間の隅にある隙間が気になっており、そこにちょうど収まる棚の作成を思い立った。まずは設計だと思い、メジャーを持って隙間の幅を測ってみたのだが、歳のせいか手の震えも手伝って、測るたびに数字がぶれてしまう。一度目は78.1cm、二度目は78.5cm、その次は77.8cmとなった。ううむ、おじさんはこの隙間の本当の幅が知りたい。
測定値は何らかの原因により本当の値の近辺にばらつくものだろうから、すべての測定値との差がなるべく小さくなるような値を見つければ、本当の値とは言えないまでも、それに近い値が得られるはずだ。そのような値を $m$ とすると、この値をいろいろと変えてみて測定値 $x$ との誤差 $(x_n-m)$ の合計がなるべく小さくなるような値を探せば良いのではないか。だが誤差をそのまま合計をとると $m$ が負の無限大となって工作が不可能になる。これを避けるために誤差の二乗和 $\sum_n^N{(x_n-m)^2}$ を最小にする $m$ とするのが良さそうだ。そのような $m$ を見つけるにはどうすればいいだろう。
誤差の二乗和は２次関数なので、高校の数学で習った極値問題とみなし、微分して0になる値として求めるのが定石だろうが、図形的に求めることはできないだろうか。 $\sum_n^N{(x_n-m)^2}$ はN次元空間における点 $\textbf{x}=(x_1,...,x_N)$ と点 $\textbf{m}=(m,...,m)$ の距離と捉えることもできる。この距離を図で表現するため、１つ目の測定を $X_1$ 軸、２つ目の測定を $X_2$ 軸とする、 $X_1X_2$ の2次元空間で考えてみよう。

上の図で測定値は点 $x(x_1,x_2)$ で表されている。 $m$ の値は本当の値であり、測定するたびに変化することはないのだから、この図における点 $m$ は $X_1$ 軸と $X_2$ 軸の値が同じになる点、つまり $X_1=X_2$ の線上のどこかにあるはずだ。その何処かにある点 $m$ と点 $x$ の距離が最小になるためには、 $m$ と $x$ を結ぶ線が線 $X_1=X_2$ と直角に交わることが必要だ。ということは原点と $x$ と $m$ を結んだ線が直角三角形になるということだ。一般に原点と点 $(x,y)$ の距離は $x^2+y^2$ なので次の式がなりたち、

${x_1}^2+{x_2}^2=m^2+m^2+(m-x_1)^2+(m-x_2)^2$